Método de Newton - Determinação de raízes

Método de Newton

É uma forma de se encontrar raízes de uma função. Para usar esse cálculo e estimar uma raiz da função, devemos escolher um ponto qualquer e através desse ponto conseguir estimar essa raiz.

Para isso calculamos a derivada do ponto, ou seja, a tangente da função naquele ponto. Então pode-se prolongar a reta tangente ao ponto escolhido na curva da função e dessa forma cruzar o eixo das abcissas.

Repetindo esse processo diversas vezes para diversos pontos, além e após ao ponto escolhido, vemos que a reta tangente começa a andar no eixo das abcissas e dessa forma começar a observar como tende as posições onde o y será igual a zero.

Matematicamente falando seria:

Onde X_n é o chute inicial.

Depois continua-se substituindo o valor do chute inicial pelo valor obtido como resposta da raiz anterior, ou seja:

E assim sucessivamente.

Vamos pensar em um exemplo:

Digamos que temos uma função de terceiro grau para o cálculo de volume molar de um gás, proveniente de PV=nRT:

Podemos simplifica-la da seguinte forma:

Calculando a derivada, ou seja, a tangente (declive da curva):

Ou seja, podemos criar símbolos para substituir as partes que vão indicar valores que podem ser constantes na equação, dessa forma tornando-a mais simples de visualizar e modelar.

Um meio simples para o uso dessa observação feita por Newton é a utilização de softwares que possuem planilhas, como o padrão do office Microsoft, o Excel.

Antes de mostrar como funciona os cálculos, devemos compreender algumas ferramentas desse software. Nas equações que serão montadas existe a necessidade de colocar muitos parenteses, abrindo e sempre fechando, pois se colocarmos uma equação grande em linha, com várias operações, o software ira executa-las sequencialmente, porém se haver uma parte da equação separada em parenteses, o cálculo se dá sequencial, mas quando chega na parte em parênteses ele executa separado, já que algumas vezes a mudança dos fatores altera o produto. Algumas coisas como o $ será vista com certa constância, pois indica um dado valor fixo, ou seja, em vez de digitar o valor novamente pode-se indicar a coluna e a linha, separados pelo $ (exemplo: A$2, C$23...).

Vamos começar declarando os valores de A1, A2 e A3 da fórmula, utilizamos essas designações, pois são os mesmos valores que indicam uma célula na planilha.

Na célula A₂ declaramos da seguinte forma:

=((8,31451*298)/(200*100000)+(0,03183/1000))

Onde R = 8,31451 (Constante dos gases), t = 298 (Temperatura em Kelvin), P = 200*100000 (Pressão em bar) e b= 0,03183/1000 (Volume excluído devido a repulsão de moléculas)

Na célula A₃ declaramos da seguinte forma:

=((1,378*1,01325)/(200*(1000^2)))

Onde a = 1,378*1,01325 (Atração entre as moléculas), P = 200*(1000^2) (Pressão em bar)

Na célula A₄ declaramos da seguinte forma:

=((1,378*0,03183*1,01325)/(200*(1000*1000*1000)))

Onde a = 1,378*1,01325 (Atração entre as moléculas), b= 0,03183/1000 (Volume excluído devido a repulsão de moléculas), P = 200*(1000^3) (Pressão em bar)

A fórmula ficará da seguinte forma para o cálculo, onde podemos achar as raízes, ou seja, onde y = 0:

C₂ – ((C₂*C₂*C₂ – A$2 *C₂*C₂ + A$3 *C₂ – A$4)/(3 *C₂ – 2*A$2*C₂+A$3 ))

Depois disso é só arrastar até pela coluna até onde desejar, ou até onde o valor torna-se constante.

A imagem abaixo demonstra como existe um valor constante, ou seja, conforme se aproxima infinitesimalmente do mesmo o valor torna-se constante.