Cálculo da área abaixo de uma curva: Pré-Integrais

Antes do desenvolvimento do cálculo como conhecemos atualmente, os cientístas se usavam de meios criativos para conseguir encontrar respostas para os fenômenos que observavam. Um fato muito importante para o desenvolver das ciências naturais e exatas, foi o início do pensar lógico baseado em gráficos. Vários fenônemos importantes conseguem ser explicados com a análise dessa ferramenta. Para se obter o valor de acumulo de quantidades, pode-se usar o cálculo da área abaixo de uma curva.

Um meio de calcular a área abaixo de uma curva de uma forma bastante rústica e primitiva é o ato de dividir o gráficos em inúmeros retângulos e calcular a área de cada um desses retângulos, calcular um número de corte, baseado na área que fica fora do gráfico, como erro do modelo usado (os erro geralmente se baseia em pequenos retângulos, triângulos ou trapézios).

Nem sempre é trivial calcular a área abaixo de uma curva, a curva acima, parece ser simples, mas o cálculo de sua área é bem complexo.

Uma forma de calcular a área abaixo de um gráfico pode ser vista na imagem acima. Duas formas podem ser usadas, em amarelo retângulos que ultrapassarram a altura da curva, havendo a necessidade de remover esse excesso no fim, com um cálculo de erros (achando a área aproximada de triângulos excedentes). Em verde calcula-se a área aproximada, mas com erro, pois faltam pequenos espaços não preenchidos, portanto, existe a necessidade de calcular a área desses espaços não preenchidos e adicionar no valor final (calculo símples da área de triângulos, baseados em altura e comprimento dos catetos). Um fato importante nos dois métodos é manter constante a largura de cada retângulo e saber a quantos foram usados para cobrir toda a área do gráfico.

Porém esse método engenhoso era bastante despendioso, já que demorava bastante tempo para conseguir chegar em um valor aproximado.

Alguns cientístas usavam uma forma, muito engenhosa e simples, baseada em análise de peso e área de um gráfico físicamente plotado em uma folha de papel, que com certeza, em um momento em que se precisava de respostas rápidas e não havia sido desenvolvido o pensar moderno frente ao cálculo e muito menos a existência de calculadoras e computadores, que vieram anos depois.

Esse método engenhoso se baseava em desenhar o gráfico em uma folha de papel, medir as dimensões da folha, em seguida pesar a folha com o gráfico, e depois recortar o gráfico. Novamente pesava-se a folha (no caso somente a área abaixo do gráfico), e então através de uma regra de três simples conseguia-se chegar na área do grafico abaixo da curva. 

Se pensarmos no enunciado da Navalha de Occan, que diz:

"Se em tudo o mais forem idênticas as várias explicações de um fenómeno, a mais simples é a melhor"

Acaba nos vindo a cabeça que naquela época o mais simples era fazer a medição e pesagem do gráfico, e realmente era (para se obter mais rápidamente os resultados), porém o pensar matemático se desenvolveu em cima desses problemas mais complexos, e hoje temos uma fomar mais simples ainda para cálcular que se baseia na Soma de Riemann ou integrais.

Método de Newton - Determinação de raízes

Método de Newton

É uma forma de se encontrar raízes de uma função. Para usar esse cálculo e estimar uma raiz da função, devemos escolher um ponto qualquer e através desse ponto conseguir estimar essa raiz.

Para isso calculamos a derivada do ponto, ou seja, a tangente da função naquele ponto. Então pode-se prolongar a reta tangente ao ponto escolhido na curva da função e dessa forma cruzar o eixo das abcissas.

Repetindo esse processo diversas vezes para diversos pontos, além e após ao ponto escolhido, vemos que a reta tangente começa a andar no eixo das abcissas e dessa forma começar a observar como tende as posições onde o y será igual a zero.

Matematicamente falando seria:

Onde X_n é o chute inicial.

Depois continua-se substituindo o valor do chute inicial pelo valor obtido como resposta da raiz anterior, ou seja:

E assim sucessivamente.

Vamos pensar em um exemplo:

Digamos que temos uma função de terceiro grau para o cálculo de volume molar de um gás, proveniente de PV=nRT:

Podemos simplifica-la da seguinte forma:

Calculando a derivada, ou seja, a tangente (declive da curva):

Ou seja, podemos criar símbolos para substituir as partes que vão indicar valores que podem ser constantes na equação, dessa forma tornando-a mais simples de visualizar e modelar.

Um meio simples para o uso dessa observação feita por Newton é a utilização de softwares que possuem planilhas, como o padrão do office Microsoft, o Excel.

Antes de mostrar como funciona os cálculos, devemos compreender algumas ferramentas desse software. Nas equações que serão montadas existe a necessidade de colocar muitos parenteses, abrindo e sempre fechando, pois se colocarmos uma equação grande em linha, com várias operações, o software ira executa-las sequencialmente, porém se haver uma parte da equação separada em parenteses, o cálculo se dá sequencial, mas quando chega na parte em parênteses ele executa separado, já que algumas vezes a mudança dos fatores altera o produto. Algumas coisas como o $ será vista com certa constância, pois indica um dado valor fixo, ou seja, em vez de digitar o valor novamente pode-se indicar a coluna e a linha, separados pelo $ (exemplo: A$2, C$23...).

Vamos começar declarando os valores de A1, A2 e A3 da fórmula, utilizamos essas designações, pois são os mesmos valores que indicam uma célula na planilha.

Na célula A₂ declaramos da seguinte forma:

=((8,31451*298)/(200*100000)+(0,03183/1000))

Onde R = 8,31451 (Constante dos gases), t = 298 (Temperatura em Kelvin), P = 200*100000 (Pressão em bar) e b= 0,03183/1000 (Volume excluído devido a repulsão de moléculas)

Na célula A₃ declaramos da seguinte forma:

=((1,378*1,01325)/(200*(1000^2)))

Onde a = 1,378*1,01325 (Atração entre as moléculas), P = 200*(1000^2) (Pressão em bar)

Na célula A₄ declaramos da seguinte forma:

=((1,378*0,03183*1,01325)/(200*(1000*1000*1000)))

Onde a = 1,378*1,01325 (Atração entre as moléculas), b= 0,03183/1000 (Volume excluído devido a repulsão de moléculas), P = 200*(1000^3) (Pressão em bar)

A fórmula ficará da seguinte forma para o cálculo, onde podemos achar as raízes, ou seja, onde y = 0:

C₂ – ((C₂*C₂*C₂ – A$2 *C₂*C₂ + A$3 *C₂ – A$4)/(3 *C₂ – 2*A$2*C₂+A$3 ))

Depois disso é só arrastar até pela coluna até onde desejar, ou até onde o valor torna-se constante.

A imagem abaixo demonstra como existe um valor constante, ou seja, conforme se aproxima infinitesimalmente do mesmo o valor torna-se constante.